第26讲：《对弧长的曲线积分及基本计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义
1、构建对弧长的曲线积分模型
对弧长的曲线积分即在微元弧微分 分布的曲线上求分布的部分量的和。
比如，小段 的质量近似量，即为 上一点 的线密度 与弧长的乘积，总的曲线型构件的质量 即为 分布的曲线 上求和，从而得到对弧长的曲线积分模型为
其中平面上的曲线积分即为以上模型的特殊情况，即 的情形。
【注】 对弧长的曲线积分的性质：
平面上对弧长的曲线积分性质与二重积分一致，把二重积分换成平面曲线上的对弧长的曲线积分即可
空间中对弧长的曲线积分性质与三重积分一致，把三重积分换成空间曲线上对弧长的曲线积分即可
2、对弧长的曲线积分的几何意义
(1) 当 时，表示平面积分曲线段 的长度；当积分曲线为空间曲线 ，则表示空间曲线段 的长度.
(2) 当 时，表示以 面上的曲线 为准线，母线平行于 轴，顶部为 点构成的曲线（即高为 ）的曲顶柱面片的面积。
3、对弧长的曲线积分的物理意义
当 , 时，分别表示平面曲线段 与空间曲线段 的质量。
【注】 根据被积函数描述的实际意义不同，积分具有不同的实际意义.
二、对弧长的曲线积分的计算法
不管是空间曲线还是平面曲线，曲线积分的计算公式可以统一描述为
其中 , ，即由曲线 的参数方程表达式分量构成的向量值函数描述形式，其中 表示向量值函数 的导数（即各分量的参数表达式的导数构成的向量）向量的模。
1、积分曲线为平面曲线的情形
当 , ，
则对弧长的曲线积分为
当 , , ，
则对弧长的曲线积分为
当 , ，则
则对弧长的曲线积分为
2、积分曲线为空间曲线的情形当, , , 时，则
则对弧长的曲线积分为
【注】 为弧微分 ，弧长大于0，所以以上的定积分计算式中一定有积分下限小于积分上限。三、对弧长的曲线积分物理应用建模思路
借助于积分模型构建的元素法和具体步骤，即：
分割取近似，作和求极限
容易得到曲线型物件关于质心、转动惯量与引力的计算模型：
对于平面曲线，只要将二重积分中相应的模型中的积分符号换成一个，积分区域 换成积分曲线 ，面积微元 换成弧微分 即可.
对于空间曲线，只要将三重积分中相应的模型中的积分符号换成一个，积分区域 换成积分曲线 ，体积微元 换成弧微分 即可。
四、对弧长的曲线积分的一般计算思路与步骤
关于对弧长的曲线积分，不管积分曲线是平面曲线还是空间曲线，其基本计算方法可以统一归结如下几个步骤：
第一步：被积函数定义在积分曲线上，可以借助描述积分曲线的等式简化，转换积分模型
第二步：考察积分曲线的对称性（平面曲线关于坐标轴、空间曲线关于坐标面的对称性以及轮换对称性），借助“偶倍奇零”和轮换被积函数变量简化、转换积分模型，简化积分计算. 平面曲线上对弧长的曲线积分性质与二重积分一样；空间曲线上对弧长的曲线积分计算性质与三重积分一样.
【注】 第一步、第二步没有绝对先后顺序，也不一定非要考虑。
第三步：写出积分曲线的参数方程，并写出相应的参变量取值范围。
第四步：将弧微分写成参变量微分表达式。
第五步：将参数表达式和弧微分直接代入被积表达式，以参变量的取值范围的左端点为积分下限，以右端点为积分上限，将对弧长的曲线积分写成定积分表达式（积分下限一定小于积分上限）.
第六步：利用定积分的计算方法计算定积分.
【注】 如果积分曲线是由分段光滑的曲线构成，并且不能用一个统一的参数方程来描述的话，则要对积分曲线进行分段，如 ，对于每一段使用以上的计算方法进行计算，然后基于积分对积分曲线段的可加性，有
参考课件
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